利用交换运算构造双重 magma

双重 magma 是一个配备两个满足交换律的二元运算的非空集合。如果这两个运算不同，我们称该双重 magma 为真 (proper) 的；如果运算是可交换的，则称其为可交换的。双重半群是指两个运算均满足结合律的双重 magma。给定一个群 $G$，我们定义一个双重 magma $(G,*,\#)$，其交换子运算为 $x * y = [x,y]$ ($= x^{-1}y^{-1}xy$) 和 $x \# y = [y,x]$。我们证明 $(G,*,\#)$ 是双重 magma 当且仅当 $G$ 满足交换子律 $[x,y;x,z]=1$ 和 $[w,x;y,z]^2 = 1$。注意，第一条定律定义了 3-亚阿贝尔群 (3-metabelian groups) 的簇。如果 $G$ 中这两条定律均成立，则 $(G,*,\#)$ 为真当且仅当 $G$ 包含一个平方非平凡的交换子。B.H. Neumann 曾给出一个此类群的例子，它不是亚阿贝尔群；因此相关的双重 magma 是真的，并产生了一个具有一定复杂性的例子。双重 magma $(G,*,\#)$ 是双重半群当且仅当 $G$ 是 2 类幂零群。在这种情况下，$(G,*,\#)$ 是真双重半群当且仅当 $G$ 包含一个平方非平凡的交换子。我们构造了一个具体例子，令 $G$ 为 16 阶二面体群。此外，我们还评论了使用 Lie 交换子对环进行的类似构造。