度量测度空间半群及其无限可分概率测度

度量测度空间是指装备有满支集概率测度的完备可分度量空间。若两个这样的空间作为度量空间是等距的，且该等距映射将第一个空间上的概率测度映射为第二个空间上的概率测度，则称它们等价。所得的等价类集合可用 Greven、Pfaffelhuber 和 Winter 提出的 Gromov-Prohorov 度量进行度量化。我们考虑该空间上的自然二元运算$\boxplus$，该运算取两个度量测度空间并形成它们的 Cartesian 积，装备以两个度量的和与两个概率测度的积。我们证明了装备此运算的度量测度空间构成一个具有平移不变度量的可消去、交换、Polish 半群，且每个元素都有唯一的素元分解。我们研究了半群结构与正实数在该空间上由度量缩放引起的自然作用之间的相互作用。例如，我们证明对于任意给定的正实数$a,b,c$，平凡空间是唯一满足$a \mathcal{X} \boxplus b \mathcal{X} = c \mathcal{X}$的空间$\mathcal{X}$。我们确立了大数定律在此没有类比：如果$\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2...$是独立同分布的随机空间序列，则$\frac{1}{n} \boxplus_{k=1}^n \mathbf{X}_k$的任何子序列都不依分布收敛，除非每个$\mathbf{X}_k$几乎必然等于平凡空间。我们刻画了该半群上的无限可分概率测度和 L\'evy 过程，刻画了稳定概率测度，并为后者类建立了 LePage 表示的对应形式。