Erdős-Rényi图上具有抑制效应的非线性Hawkes过程的平均场极限

我们研究了一个具有 $N$ 个节点的 $q$-Erdős-Rényi图上的多元非线性 Hawkes 过程 $Z^N$。每个顶点要么是兴奋性的(概率 $p$)要么是抑制性的(概率 $1-p$)。若 $p\neq\tfrac12$,我们取 $Z^N$ 的平均场极限,得到一个多元点过程 $\bar Z$。我们将相互作用强度按 $N$ 重新标度,发现极限强度过程满足一个确定性卷积方程,且 $\bar Z$ 的所有分量相互独立。围绕平均场极限的涨落收敛到一个随机卷积方程的解。在临界情形 $p=\tfrac12$ 下,我们按 $N^{1/2}$ 重新标度,并从启发式和数值两方面讨论其中的困难。