Hawkes 过程的统计推断与平均场极限

我们考虑一个包含 $N$ 个个体的总体，观察其随时间演化的行动数量。对于每对个体 $(i,j)$，$j$ 可能影响也可能不影响 $i$，我们通过独立同分布的 Bernoulli$(p)$-随机变量对此建模，其中 $p\in (0,1]$ 为某个未知参数。每个个体以某个未知速率 $\mu>0$ 自主行动，并以某种速率进行模仿行动，该速率取决于影响他的个体近期行动的数量，这些行动的时效性通过一个未知函数 $\varphi$（大致递减且快速衰减）加以考虑。本文的目标是在渐近 $N\to\infty$, $t\to\infty$ 下估计 $p$，即相互作用图的主要特征。主要问题在于，该模型的平均场极限（当 $N \to \infty$ 时）是不可识别的，因为它仅依赖于参数 $\mu$ 和 $p\varphi$。幸运的是，该平均场极限对于长时间并不有效。我们区分了亚临界情形，其中每个个体的平均行动数 $m_t$ 大致线性增长，以及超临界情形，其中 $m_t$ 指数增长。尽管讨厌参数 $\varphi$ 是非参数的，我们仍能在两种情形下以非参数方式估计 $p$ 而不估计 $\varphi$，精度为 $N^{-1/2}+N^{1/2}m_t^{-1}$ 量级，至多有一些任意小的损失。我们使用一个高斯玩具模型来解释该收敛速率可能（几乎）最优的原因。