$\mathbb{Z}^k$-作用的均值维数

均值维数是动力系统的一个拓扑不变量，对具有无限维数和无限熵的系统有意义。给定一个紧度量空间 $X$ 上的 $\mathbb{Z}^k$-作用，我们研究与均值维数密切相关的以下三个问题。(1) $X$ 何时同构于有限熵系统的逆极限？(2) 假设拓扑熵 $h_{\mathrm{top}}(X)$ 是无限的。如果仅考虑到给定精度水平的 $X$，可以检测到多少拓扑熵？随着分辨率变得越来越精细，这一熵量增长有多快？(3) 我们何时能将 $X$ 嵌入到无限维立方体 $([0,1]^D)^{\mathbb{Z}^k}$ 上的 $\mathbb{Z}^k$-移位中？这些问题在 [Lindenstrauss, Mean dimension, small entropy factors and an embedding theorem, Inst. Hautes \'Etudes Sci. Publ. Math. \textbf{89} (1999) 227-262] 中针对 $\mathbb{Z}$-作用进行了研究，但其向 $\mathbb{Z}^k$ 的推广一直是一个开放问题。当 $X$ 具有标记性质(marker property)时，特别是当 $X$ 具有完全非周期极小因子时，我们完全解决了 (1) 和 (2) 的一个自然解释，并给出了 (3) 一个相当满意的答案。一个关键要素是一种将每条轨道连续划分为良好片段的新方法。