扩张多参数作用与平均维数

Ma\~n\'e (1979) 证明了若紧度量空间容许一个扩张同胚,则其有限维。我们将该定理推广到多参数作用。此推广涉及平均维数理论,该理论计数动力系统的“平均维数”。我们证明:若 $T:\mathbb{Z}^k\times X\to X$ 是扩张的,且 $R:\mathbb{Z}^{k-1}\times X\to X$ 与 $T$ 交换,则 $R$ 具有有限平均维数。当 $k=1$ 时,该陈述退化为 Ma\~{n}\'{e} 定理。我们还研究了若干相关问题,特别是与熵理论的联系。