方向平均维数与连续统式扩张的 $\mathbb{Z}^k$-作用

我们研究 $\mathbb{Z}^k$-作用（其中 $k$ 为正整数）的方向平均维数。一方面，我们证明存在一个 $\mathbb{Z}^2$-作用，其方向平均维数（视为环面上的 $[0,+\infty]$-值函数）不连续。另一方面，我们证明若 $\mathbb{Z}^k$-作用是连续统式扩张的，则其 $(k-1)$ 维方向平均维数的值有界。这是对 Mañé 经典结果的推广（着眼于 Meyerovitch 和 Tsukamoto 关于平均维数与扩张多参数作用的定理）：任何容许扩张同胚（关于相容度量）的紧可度量空间是有限维的。