乘积空间的平均维数：一个基本公式

平均维数是动力系统的一种拓扑不变量，由 Mikhail Gromov 于 1999 年提出，并由 Elon Lindenstrauss 和 Benjamin Weiss 在约 2000 年于顺从群作用框架下进行了具有深刻应用的研究。设可数离散顺从群 $G$ 连续作用于紧可度量空间 $X$ 和 $Y$。考虑 $G$ 在乘积空间 $X\times Y$ 上的乘积作用。平均维数的乘积不等式是众所周知的：$\mathrm{mdim}(X\times Y,G)\le\mathrm{mdim}(X,G)+\mathrm{mdim}(Y,G)$，而长期以来人们未知该乘积不等式能否取等号。2019 年，Masaki Tsukamoto 构造了首个例子，给出 $G$ 分别在紧可度量空间 $X$ 和 $Y$ 上的两个不同连续作用，使得乘积不等式成为严格不等。然而，在这一方向上仍有一个长期未决的公开问题，即是否存在 $G$ 在某个紧可度量空间 $X$ 上的连续作用，使得 $\mathrm{mdim}(X\times X,G)<2\cdot\mathrm{mdim}(X,G)$。我们解决了该问题。有些令人惊讶的是，与（拓扑）维数理论相反，我们证明了一个相当令人满意的定理：若无限（可数离散）顺从群 $G$ 连续作用于紧可度量空间 $X$，则对任意正整数 $n$，有 $\mathrm{mdim}(X^n,G)=n\cdot\mathrm{mdim}(X,G)$。我们的平均维数乘积公式，连同前述的例子与不等式，最终使得乘积作用的平均维数得到完全理解。