平均维数、平均秩与 von Neumann-Lück 秩

我们为离散 amenability 群 $\Gamma$ 的整群环的任何模 $M$ 引入了一种称为平均秩的不变量，作为阿贝尔群秩的类比。研究表明，$M$ 上诱导的 $\Gamma$-作用在其 Pontryagin 对偶上的平均维数、$M$ 的平均秩以及 $M$ 的 von Neumann-Lück 秩三者一致。作为应用，我们建立了代数作用平均维数的加法公式，证明了代数作用的 Pontryagin-Schnirelmann 定理类比，并表明对于有限子群阶数有上界的初等 amenability 群，零平均维数的代数作用是有限熵作用的逆极限。