拓扑维数、平均维数与嵌入定理

根据 Lindenstrauss 和 Tsukamoto 的一个猜想，若一个拓扑系统 $(X,T)$ 的平均维数和周期维数满足 mdim$(X,T)<d/2$ 且 perdim$(X,T)<d/2$，则该系统可嵌入 $d$ 维立方移位 $(([0,1]^d)^\mathbb{Z},$shift) 中。若 $(X,T)=(\prod\limits_{i\in \mathbb{N}}X_i,\prod\limits_{i\in \mathbb{N}}T_i)$（$(X_i, T_i)$ 为动力系统），且 $\liminf\limits_{n\to +\infty} {\rm perdim}(X^{(n)},T^{(n)}) < \frac{d}{2}$，则 $(X,T)$ 可嵌入 $(([0,1]^d)^\mathbb{Z},$shift) 中。