带随机初始数据的扩散方程的扩展临界 McKean-Vlasov 极限

我们研究了二维空间中一大类扩展临界扩散方程，其中初始数据为在尺度 $\varepsilon^2$ 上 mollify 的白噪声，反应项因 $(\log\varepsilon^{-1})^{-1}$ 而衰减。我们证明当 $\varepsilon\to 0$ 时，解收敛于 McKean-Vlasov 方程的解，而该方程为高斯分布，其标准差由 ODE 的解给出。我们的结果覆盖反应项 $f(u)=u^3$ 的情况，从而为Gabriel、Rosati 和 Zygouras（Probab. Theory Related Fields 192: 1373-1446, 2025）近期工作所发现的Allen-Cahn 方程的极限行为提供了新的证明。