$X_0(p)$ 在尖点外无分歧的最大阿贝尔扩张

设 $p$ 为素数。Mazur 证明了 $X_0(p)$ 在 $\mathbb Q$ 上的几何极大无分歧阿贝尔覆盖由 Shimura 覆盖 $X_2(p) \to X_0(p)$ 给出，即 $X_1(p) \to X_0(p)$ 的次数为 $N_p := (p-1)/\gcd(p-1, 12)$ 的唯一子覆盖。在这篇短文中，我们证明了 $X_0(p)$ 在 $\mathbb Q$ 上的、在尖点外无分歧的几何极大阿贝尔覆盖 $X_2'(p) \to X_0(p)$ 是次数为 $2N_p$ 的循环覆盖。构造 $X_2'(p)$ 的主要工具是广义 Dedelind eta 函数。