Maulik-Okounkov 量子环群与预投影 $K$ -理论 Hall 代数乘积

本文证明了以下结果：给定具有 Cartan 元素的图类型 $Q$ 的预投影 $K$ -理论 Hall 代数 $\mathcal{A}^{+}_{Q}$ 的 Drinfeld 双重 $\mathcal{A}^{ext}_{Q}$，则 $\mathcal{A}^{ext}_{Q}$ 与图类型 $Q$ 的局化 Maulik-Okounkov 量子环群 $U^{MO}_{q}(\hat{\mathfrak{g}}_{Q})$ 之间存在 $\mathbb{Q}(q,t_e)_{e\in E}$ -Hopf 代数同构。此外，我们证明了 $U_{q}^{MO,\pm,\mathbb{Z}}(\hat{\mathfrak{g}}_{Q})$ 的正/负半部分与相同图类型 $Q$ 的预投影（nilpotent）$K$ -理论 Hall 代数 $\mathcal{A}^{+,\mathbb{Z}}_{Q}$（$\left(\mathcal{A}^{+,nilp,\mathbb{Z}}_{Q}\right)^{op}$）之间存在 $\mathbb{Z}[q^{\pm1},t_{e}^{\pm1}]_{e\in E}$ -代数同构。作为应用，我们证明了墙子代数 $U_{q}^{MO,\mathbb{Z}}(\mathfrak{g}_{w})$ 可被识别为斜率代数 $\mathcal{B}_{\mathbf{m}}^{\mathbb{Z}}$ 中的根代数 $\mathcal{B}_{\mathbf{m},w}^{\mathbb{Z}}$ 作为准三角 Hopf $\mathbb{Z}[q^{\pm1},t_e^{\pm1}]_{e\in E}$ -代数。我们利用 MO 量子环群中墙子代数的免费性，证明了针对任意 torus $\mathbb{C}_q^*\subset A\subset T$ 的预投影 $K$ -理论 Hall 代数的自由性。