通过 BPS Lie 代数证明 Okounkov 猜想

设 $Q$ 为任意有限箭图。我们使用非阿贝尔稳定包将 Maulik-Okounkov Lie 代数 $\mathfrak{g}^{MO}_Q$ 的表示与带有规范势的三倍箭图 $\tilde Q$ 相关联的 BPS Lie 代数的表示联系起来。我们利用此比较给出了 Maulik-Okounkov Lie 代数与 BPS Lie 代数之间的同构。通过该同构，我们证明了 Okounkov 猜想，即将 Lie 代数 $\mathfrak{g}^{MO}_Q$ 的分次维数与 Kac 多项式的系数等同起来。通过关于二维和三维上同调 Hall 代数的一般性结果，我们进一步将 $\mathfrak{g}^{MO}_Q$ 作为广义 Kac-Moody Lie 代数给出了完整描述，其 Cartan 数据由奇异 Nakajima 箭图簇的交上同调给出，并证明了 Maulik 和 Okounkov 的一个猜想，该猜想表明他们的 Lie 代数是通过标量扩张从定义在有理数上的 Lie 代数得到的。最后，我们解释了我们的结果如何暗示了消失圈上同调中临界稳定包的正确定义。