有限度量空间的矩阵不变量
组合数学
2020-03-09 v1
摘要
有限度量空间由距离函数正性与三角不等式所定义的凸多面锥刻画。其分类基于称为“度量扇”的关联多面锥的分解。n点度量空间的完全分类仅对n≤6可得。由于类的数量随元素个数迅速增加，人们希望基于有限度量空间的某些不变量获得更粗的等价类分解。若(X,d)是以P_i为元素、以d_{ij}为距离函数的有限度量空间，则在P_i处的Gromov积定义为Δ_{ijk}=1/2(d_{ij}+d_{ik}-d_{jk})。假设P_i处Gromov积集合有唯一最小元Δ_{ijk}，则将边P_jP_k关联到P_i定义了“Gromov积结构”。有限度量空间的“无垂饰”约化是通过移除对应于P_i处极小Gromov积Δ_{ijk}的边P_jP_k所得的图。在本文中，我们通过n×n矩阵G_S为n点度量空间上的Gromov积结构S定义矩阵表示。我们证明，若两个度量空间的Gromov积结构可通过指标的一个置换相互映射，则其矩阵经由相应置换矩阵相似。G_S的矩阵不变量被用于定义Gromov积结构的子类，并给出了它们在n=5和n=6点空间上的应用。
引用
@article{arxiv.2003.03335,
title = {Matrix Invariants of Finite Metric Spaces},
author = {Ayse Humeyra Bilge and Metehan Incegul},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.03335},
year = {2020}
}