7 点度量空间的 Gromov 乘积分解

设 $X$ 为一个有限度量空间，其元素为 $P_i$，$i=1,\dots,n$，距离函数为 $d_{ij}$。以 $P_i$、$P_j$、$P_k$ 为顶点的三角形在顶点 $P_i$ 处的 Gromov 乘积定义为 $\Delta_{ijk}=\frac{1}{2}(d_{ij}+d_{ik}-d_{jk})$。若在每个 $P_i$ 处 Gromov 乘积的集合都有唯一最小元 $\Delta_{ijk}$，则称该度量空间为 $\Delta$-一般的。对于 $\Delta$-一般的度量空间，映射 $P_i\to (P_jP_k)$（其中 $(P_jP_k)$ 为连接 $P_j$ 与 $P_k$ 的边）是一个良定义映射，称为“Gromov 乘积结构”[Bilge, Celik and Kocak, "An equivalence class decomposition of finite metric spaces", Discrete Mathmetics, Vol 340, (2017) 1928-1932]。当 n=5 时，3 个 $\Delta$-等价类与 $5$ 点度量的分类一致。当 $n=6$ 时，有 26 个 $\Delta$-等价类，细分为 339 个度量类。本文中，我们给出 7 点空间的首个系统性处理，并得到了由 431 个等价类构成的 7 点度量空间的 $\Delta$-等价分解。