关于Gromov集的Delaunay三角剖分

设$Y$为度量空间$X$的子集。若$Y$是$\eta$-分离的且不被$X$的任何其他$\eta$-分离子集真包含，则称$Y$为$\eta$-Gromov集。本文中，我们回顾Chew的一个结果：任意$\mathbb{R}^{2}$的$\eta$-Gromov子集容许一个三角剖分$\mathcal{T}$，其最小角至少为$\pi /6$，且边长介于$\eta$与$2\eta$之间。进而我们证明，给定任意$k = 1,2,3\ldots$，存在$\mathcal{T}$的一个细分$\mathcal{T}_{k}$，其边长位于$\left[ \frac{\eta}{10 k},\frac{2\eta}{10 k} \right]$中，且最小角亦为$\pi /6$。这些结果用于[10]中如下定理的证明：对任意$k\in \mathbb{R},v>0$和$D>0$，具有截面曲率$\geq k$、体积$\geq v$且直径$\leq D$的闭黎曼4-流形类至多包含有限多种微分同胚类型。此外，这些结果蕴含：对任意$\varepsilon >0$，若$\eta >0$足够小，紧黎曼2-流形的任意$\eta$-Gromov子集容许一个测地三角剖分$\mathcal{T}$，其所有边长位于$\left[ \eta \left( 1-\varepsilon \right) ,2\eta \left( 1+\varepsilon \right) \right]$中，且所有角$\geq \frac{\pi }{6}-\varepsilon$。