关于高阶Delaunay三角剖分的数量

高阶Delaunay三角剖分是Delaunay三角剖分的一种推广，它提供了一类形状良好的三角剖分，可以在其上优化额外准则。如果一个三角剖分的每个三角形的外接圆最多包含$k$个点，则该三角剖分称为$k$阶Delaunay三角剖分。本文研究了高阶Delaunay三角剖分数量的下界和上界，以及随机分布点下的期望数量。我们证明，任意大的点集可以具有单一的高阶Delaunay三角剖分，即使对于高阶也是如此，而对于一阶Delaunay三角剖分，最大数量是$2^{n-3}$。接下来，我们证明均匀分布点的一阶Delaunay三角剖分的期望数量至少为$2^{\rho_1 n(1+o(1))}$，其中$\rho_1$是一个解析定义的常数（$\rho_1 \approx 0.525785$），对于$k > 1$，$k$阶Delaunay三角剖分（不是任何$i < k$的$i$阶）的期望数量至少为$2^{\rho_k n(1+o(1))}$，其中$\rho_k$可以通过数值计算得到。