度量空间的粗同调不变量

受群上同调启发，我们定义了度量空间的若干粗拓扑不变量。我们定义了度量空间的粗同调维数，并证明了若 $G$ 为可数群，则 $G$ 作为度量空间的粗同调维数与其作为群的同调维数在后者的值为有限时一致。将 Sauer 的结果推广，我们证明了粗同调维数在粗嵌入下单调，因此粗等价下不变。我们将无界拟树刻画为粗同调维数为一的拟测地度量空间。Hopf 与 Freudenthal 的经典定理指出，若 $G$ 为有限生成群，则 $G$ 的端数只能为 0、1、2 或 $\infty$。我们证明了该结论的高维推广：若 $F$ 为域，$G$ 为可数群，且 $H^k(G,FG)=0$ 对所有 $k<n$ 成立，则 $\dim H^n(G,FG)$ 只能为 0、1 或 $\infty$，显著推广了 Farrell 1975 年的结果。此外，当 $\dim H^n(G,FG)=1$ 时，$G$ 必为粗庞加莱对偶群。我们对度量空间也证明了类似的结果。