$\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z}_p)$ 在 $p$ 进多项式空间上的不变高斯测度

我们证明，若 $p>d$，则在空间 $\mathbb{Q}_p[x_1, \ldots, x_n]_{(d)}$ 上存在一个唯一的高斯分布（在 Evans 的意义下），该分布关于 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{Z}_p)$ 通过变量替换的作用是不变的。这给出了 Kostlan 定理的非阿基米德对应：Kostlan 定理分类了 $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]_{(d)}$（相应地 $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]_{(d)}$）空间上正交（相应地酉）不变的高斯测度。更一般地，若 $V$ 是非阿基米德局部域 $K$ 上的 $n$ 维向量空间，其整数环为 $R$，且 $\lambda$ 是一个整数 $d$ 的划分，我们研究在群 $\mathrm{GL}(n,R)$ 作用下确定 Schur 模 $S_\lambda(V)$ 中不变格的问题。