生物网络形成系统的数学分析

受近期描述自然网络形成规则的物理学论文启发，我们研究了由 Hu 和 Cai 提出的一个椭圆 - 抛物型偏微分方程组。该模型通过 Darcy 型方程描述压力场，并在压力效应下描述传导网络的动力学，其中扩散率 $D$ 代表材料结构中的随机性。我们证明了全局弱解和局部温和解的存在性，并研究了它们的长期行为。结果表明，通过能量耗散，稳态在理解系统的模式容量方面起着核心作用。我们证明了对于较大的扩散系数 $D$，零稳态是稳定的；而对于较小的 $D$ 值则会出现模式，因为在此范围内零稳态是 Turing 不稳定的；对于 $D=0$，我们可以展示一大类动力学稳定（在线性化意义下）的稳态。