分类空间的 $\mathbb{A}^1$-连通分支与 torsor 的 purity

在本文中，对于约化群 $G$，我们研究将光滑概形映射到 $G$-torsor 同构类集合的预层之 Nisnevich 层化 $\mathcal{H}^1_{\acute{e}t}(G)$。我们证明若仿射线上的 $G$-torsor 可延拓，则 $\mathcal{H}^1_{\acute{e}t}(G)$ 是同伦不变的，并证明该层非分歧当且仅当对 $G$-torsor 成立 Nisnevich-局部 purity。我们还将层 $\mathcal{H}^1_{\acute{e}t}(G)$ 等同于分类空间 ${\rm B}_{\acute{e}t}G$ 的 $\mathbb{A}^1$-连通分支层。这确立了如 Morel 所猜想的分支层之同伦不变性。此外，只要对 $G$-torsor 成立 Nisnevich-局部 purity，它便给出了用函数域上的非分歧 $G$-torsor 对 $\mathbb{A}^1$-连通分支层的计算。