0-循环空间上的切空间

设$S$为诺特概型，$X$为$S$上的概型，使得$X$ over $S$的所有相对对称幂均存在。假设$S$为纯特征$0$，或$X$在$S$上平坦。还假设$X$到$S$的结构态射有一个截面，并用它来构造$X$ over $S$的连通无限对称幂${\rm Sym}^{\infty }(X/S)$。这是一个交换幺半群，其群完备化${\rm Sym}^{\infty }(X/S)^+$是$S$上Nisnevich位点上的集值层范畴中的阿贝尔群对象，已知作为Nisnevich层同构于Rydh意义下的相对$0$-循环层。限制在$\mathbb Q$上的半正规概型上时，它也同构于Suslin-Voevodsky和Koll\'ar意义下的相对$0$-循环层。本文中我们构造一个局部环化的0-循环Nisnevich-\'etale位点${\rm Sym}^{\infty }(X/S)^+_{\rm {Nis-et}}$，使得在每个点$P$处的\'etale邻域范畴是共滤的。这给出了K\"ahler微分层$\Omega ^1_{{\rm Sym}^{\infty }(X/S)^+}$及其对偶——空间${\rm Sym}^{\infty }(X/S)^+$上的切层$T_{{\rm Sym}^{\infty }(X/S)^+}$。应用茎函子，我们得到切层在点$P$处的茎$T_{{\rm Sym}^{\infty }(X/S)^+,P}$，其与剩余域$\kappa (P)$的张量积即为我们在点$P$处0-循环空间的切空间。