图上基于扩散的质量守恒动力学
偏微分方程分析
2020-05-28 v1
摘要
在图像分割、半监督学习和一般分类问题中，一种新兴技术涉及在有限图上定义的相分离流。该技术由 Bertozzi 和 Flenner (2012) 开创，其使用了图上的 Allen-Cahn 流，随后由 Merkurjev、Kostic 和 Bertozzi (2013) 扩展，改用图上的 Merriman-Bence-Osher (MBO) 格式。在作者之前的工作 Budd 和 Van Gennip (2019) 中，我们为这种使用 MBO 格式替代 Allen-Cahn 流提供了理论依据，表明 MBO 格式是 Allen-Cahn 流的“半离散”数值格式的一个特例。在本文中，我们扩展了这一早期工作，表明这种通过半离散格式建立的关联在推广到质量守恒情形时仍然是稳健的。受 Rubinstein 和 Sternberg (1992) 启发，我们在图上定义了质量守恒 Allen-Cahn 方程。然后，借助凸优化工具，我们证明我们早期的机制可应用于推导图上的质量守恒 MBO 格式，作为质量守恒 Allen-Cahn 的半离散格式的特例。我们对该流和格式进行了理论分析，证明了存在性、流的唯一性和格式的收敛性等各种期望性质，并表明半离散格式为质量守恒 MBO 格式的解给出了一个选择函数。最后，我们展示了向多类情形扩展的初步工作，在未来工作中我们力求将其与 Jacobs、Merkurjev 和 Esedoglu (2018) 中近期关于多类 MBO 的工作相联系。
引用
@article{arxiv.2005.13072,
title = {Mass-conserving diffusion-based dynamics on graphs},
author = {Jeremy Budd and Yves van Gennip},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.13072},
year = {2020}
}
备注
53 pages