图 MBO 作为图 Allen-Cahn 流的半离散隐式 Euler 格式

近年来，定义在有限图上的类 PDE 流日益受到关注，并在聚类和图像分割中有应用。特别是在图像分割和半监督学习方面，Bertozzi 和 Flenner（2012）开发了基于图 Ginzburg-Landau 泛函的 Allen-Cahn 梯度流的算法，而 Merkurjev、Kostić 和 Bertozzi（2013）设计了一种基于图 Merriman-Bence-Osher（MBO）动力学的变体算法。本工作为这种用 MBO 格式替代 Allen-Cahn 流的做法提供了严格依据。首先，我们为 Ginzburg-Landau 泛函选取双障碍势，并推导所得图 Allen-Cahn 流的适定性与正则性结果。接着，我们给出 Allen-Cahn 流的一个“半离散”时间离散格式，MBO 格式是其特例。我们研究该格式的长期行为，并证明当时间步长趋于零时其收敛到 Allen-Cahn 轨迹。最后，针对 Van Gennip、Guillen、Osting 和 Bertozzi（2014）提出的一个问题，我们给出一些结果，致力于证明双障碍 Allen-Cahn 流与图上平均曲率流之间的联系。我们展示了一些有希望的 $\Gamma$-收敛结果，并将 Chen 和 Elliott（1994）在连续情形中用于证明类似联系的两个比较原理移植到图的情形。