基于最优控制理论的 Markov-Dubins 路径

Markov-Dubins 路径是连接两个具有规定切线且曲率有指定上界的点的平面最短曲线。其结构由 Dubins 于 1957 年（在 Markov 提出该问题近 70 年后）证明，极为简洁：至多三段弧依次连接，每段要么是最大（规定）曲率的圆弧，要么是直线。自那以后，Markov-Dubins 问题及其变体在实践与理论环境中被广泛研究。随后，不同研究者将 Markov-Dubins 问题重新表述为最优控制问题，并利用庞特里亚金极大值原理及附加技术来复现 Dubins 的结果。在本文中，我们研究同样的重新表述，并应用极大值原理辅以新见解再次推导 Dubins 的结果。我们证明先前研究中所排除的异常控制解确实存在。我们将它们刻画为至多两段圆弧的连接，并表明它们也是正常问题的解。更重要的是，我们证明上述类型的任何可行路径都是驻解，即满足庞特里亚金极大值原理。我们提出一种计算 Markov-Dubins 路径的数值方法。我们通过三个性质不同的例子阐释该理论与数值方法。