圆束之间的映射：纤维保持、有限性与映射次数集合的实现

设 $E_i$ 为闭的有向圆束，其上覆盖闭的有向致胜 $n$ 维流形 $M_i$，且具有欧拉类 $e_i\in H^2(M_i;\mathbb{Z})$，其中 $i=1,2$。我们证明了以下结果：（i）若 $\pi_1(M_2)$ 的每个有限指数子群均为平凡中心，则 $E_1$ 到 $E_2$ 的任何非零次数映射皆可同伴至纤维保持映射。（ii）$E_1$ 到 $E_2$ 的纤维保持映射的映射次数集合为\n\{0\} \cup\{k\cdot \mathrm{deg}(f) \ | \, k\ne 0, \ f\colon M_1\to M_2 \, \text{且} \, \mathrm{deg}(f)\ne 0 \ \text{使得}\, f^#(e_2)=ke_1\},\n其中 f^# \colon H^2(M_2;\mathbb{Z})\to H^2(M_1;\mathbb{Z}) 为诱导同态。作为 (i) 和 (ii) 的应用，我们得到关于映射次数集合有限性与实现问题的以下结果：（\mathcal F}）若 $M_2$ 为双曲型且 $e_2$ 不为 torsion，则映射次数集合 $D(E_1, E_2)$ 为有限。（\mathcal R}）对于任意包含 0 的有限整数集合 $A$ 和每个 $n>2$，都存在闭的有向 $n$ 维流形 $M$ 与 $N$，使得 $A$ 为映射次数集合 $D(M,N)$。项 (i) 和 (\mathcal F}) 在所有维数 $\geq 3$ 中扩展了已知的 3 维情形（即双曲表面上的圆束之间的映射）。项 (\mathcal R}) 为任意维度中包含 0 的有限集合的实现问题提供了完整答案，尤其是先前在维数 $n=4,5$ 中未知的情形。