莫比乌斯反演与共轭求和：关于连分数误差和函数的研究

我们研究无权误差求和函数 $\mathcal{E}(x) \coloneqq \sum_{n \geq 0} ( x- p_n(x)/q_n(x) )$，其中 $p_n(x)/q_n(x)$ 为连分数展开 $x \in \mathbb{R}$ 的第 $n$ 个收敛分数。我们证明了 $\mathcal{E}$ 图的 Hausdorff 维数恰好等于 1。我们的证明在数论层面上，涉及莫比乌斯反演、共轭收敛分母求和，以及通过连分数递推关系导出的精确上界。作为补充结果，我们重新推导了关于相对误差求和函数 $P(x) \coloneqq \sum_{n \geq 0} (q_n(x)x-p_n(x))$ 图的 Hausdorff 维数上界 $3/2$。