关于 $e$ 的某些幂次渐近分数误差和函数的变体

几年前，第二作者在使用不同的“实常数识别器”（例如 LLL 算法、Plouffe 反演器等）进行尝试时，经验性地发现了以下公式。设 $p_n/q_n$ 表示常数 $e$ 的连分数的第 $n$ 个渐近分数，则 $$\sum_{n \geq 0} |q_n e - p_n| = \frac{e}{4} \left(- 1 + 10 \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{(n+1)! (2n^2 + 7n + 3)}\right).$$ 本文旨在证明该公式，并给出 $e$ 的某些幂次的类似公式。