生成圆周率偶次幂级数的又一种方法

在我们之前的出版物中，我们展示了一种基于 $sinc$ 函数乘积表示来计算 $\pi$ 偶次幂级数的方法。详情请参阅 [1]。在本工作中，我们将该方法应用于 $cosine$ 函数的乘积表示，从而导出了 $\pi$ 偶次幂的优美级数公式，例如：$$\frac{1}{2\,!} \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = \sum_{\ell_1=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2\,\ell_1-1\right)^2} \;;\quad \frac{1}{4\,!} \left(\frac{\pi}{2}\right)^4 = \sum_{\ell_{2}=2}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_2-1\right)^2} \right)\;;$$ $$\frac{1}{6\,!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^6 =\sum_{\ell_{3}=3}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{2}=2}^{\ell_{3}-1} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2\cdot \left( 2\,\ell_2-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_3-1\right)^2} \right)\right)$$ 这些公式中的许多似乎并不广为人知。