有效连分数维数与实数的有效 Hausdorff 维数
信息论
2023-08-16 v1 math.IT
摘要
我们确立了最初由 -gales 定义的建设性连分数维数是稳健的，但令人惊讶的是，同一实数的有效连分数维数与有效（基-）Hausdorff 维数一般而言可以不等。我们首先给出了利用 Kolmogorov 复杂度的连分数维数等价刻画。在此过程中，我们构造了连分数的最优下半可计算 -gale。我们还证明了连分数柱集 Lebesgue 测度的新界，这可能有独立意义。我们应用这些界揭示了连分数维数的意外行为。已知可行维数在基转换下不变。我们也知道 Martin-L"of 随机性与可计算随机性不仅在基转换下不变，在连分数表示下也不变。相反，对任意 ，我们证明存在一个实数，其有效 Hausdorff 维数小于 ，而其有效连分数维数大于等于 。该现象与 Peres 和 Torbin 以及 Albeverio、Ivanenko、Lebid 和 Torbin 所研究的某些覆盖族的“不忠实性”有关。我们还确立了对于任意实数，其建设性 Hausdorff 维数不超过其有效连分数维数。
引用
@article{arxiv.2308.07594,
title = {Effective Continued Fraction Dimension versus Effective Hausdorff Dimension of Reals},
author = {Satyadev Nandakumar and Akhil S and Prateek Vishnoi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2308.07594},
year = {2023}
}