混合拓扑下$C_b$上单调泛函的下半连续性

本文的主要结果刻画了任意波兰空间上有界连续函数空间$C_b$上单调泛函的下连续性，即其在混合拓扑中的下半连续性。在此特定情形下，混合拓扑与对偶对$(C_b,\mathrm{ca})$上的Mackey拓扑一致，其中$\mathrm{ca}$表示所有有限变差的 countable additive 带符号Borel测度空间。因此，$C_b\to\mathbb R$的凸单调映射在混合拓扑中的下半连续性等价于用countably additive测度表示的对偶表示。此类表示在金融中具有根本重要性，例如风险测度与超级对冲问题。基于主要结果，研究了容量的正则性性质以及$2$-交替容量下Choquet积分用countably additive测度表示的对偶表示。第二步，本文给出了混合拓扑中凸单调映射族的等连续性的刻画。由此，对于$C_b$上取值于局部凸向量格的每一个凸单调映射，混合拓扑中的连续等价于在范数有界集上的连续。