Bourgain 调和测度常数的下界

对每个 $n\geq 2$,Bourgain 常数 $b_n$ 是使得在 $\mathbb{R}^n$ 上定义调和测度的每个区域中,调和测度的(上)Hausdorff 维数至多为 $n-b_n$ 的最大数。Jones 与 Wolff (1988) 证明了 $b_2=1$。当 $n\geq 3$ 时,Bourgain (1987) 证明了 $b_n>0$,而 Wolff (1995) 构造的例子表明 $b_n<1$。通过改进 Bourgain 最初的框架,我们证明了对所有 $n\geq 3$ 有 $$b_n\geq c\,n^{-2n(n-1)}/\ln(n)$$,其中 $c>0$ 是与 $n$ 无关的常数。我们进一步估计 $b_3\geq 1\times 10^{-15}$ 且 $b_4\geq 2\times 10^{-26}$。