模拟免疫响应的含非局部项反应扩散系统解的全局存在性——一种面向解释的 proof

本文展示了建模肝脏感染的反应扩散系统解的全局存在性与有界性。存在性证明逐步给出，重点在于对建模的肝脏感染背景中中间结果的解释。病毒与免疫系统细胞之间源于淋巴中免疫响应的非局部效应导致了一个积分-偏微分方程。虽然抛物型偏微分方程的存在性定理在该领域是教科书级范例，但额外的积分项需要新的方法来证明解的全局存在性。这使得建立一个侧重于解释的存在性证明成为可能，同时增进对系统及建模视角的理解。我们展示了解在 $L^1(\Omega)$ 和 $L^2(\Omega)$ 范数下的有界性，并利用这些结果证明解的全局存在性与有界性。证明的核心要素是处理反应项中作用相反的机制，这类机制出现在所有种群动力学模型中，并导致具有相反单调性行为的反应项。在肝脏感染建模背景下，$L^\infty(\Omega)$ 范数下的有界性具有实际意义：强烈的免疫响应会导致肝组织严重炎症。严重炎症会对感染者的健康产生负面影响并导致严重的继发疾病。所得的粗略估计与数值试验进行了比较。