一维线性振子系统Wigner变换的长时大尺度极限

我们考虑一维整数格点上离散波动方程对应波函数的Wigner变换$W_\eps(t,x,k)$的长时大尺度行为，其中包含弱乘性噪声。该模型由Basile、Bernardin和Olla引入，用于描述具有弱噪声的相互作用线性振子系统，该噪声局域地守恒动能和动量。Basile、Olla和Spohn已证明了Wigner变换的动力学极限。在本文中，我们证明在无钉扎情况下，存在$\gamma_0>0$，使得对于任意$\gamma\in(0,\gamma_0]$，当$\eps\ll1$时，$W_\eps(t/\eps^{3/2\gamma},x/\eps^{\gamma},k)$的弱极限满足一维分数阶热方程$\partial_t W(t,x)=-\hat c(-\partial_x^2)^{3/4}W(t,x)$，其中$\hat c>0$。在钉扎情况下，可类似地断言$W_\eps(t/\eps^{2\gamma},x/\eps^{\gamma},k)$的极限，但此时极限满足通常的热方程。