二维零磁场中费米子的对数增强面积律

我们考虑 $\mathbb R^2$ 中强度为 $B>0$ 的常磁场下 Landau 哈密顿量 $H_B$ 的费米子基态，在某一固定费米能 $\mu>0$ 处，由费米投影 $P_B:= 1(H_B\le \mu)$ 描述。对于某个固定有界域 $\Lambda\subset \mathbb{R}^2$，其边界集为 $\partial\Lambda$，以及某个 $L>0$，我们将这些基态在空间上限制到缩放域 $L \Lambda$，并将相应的局域化费米投影记为 $P_B(L\Lambda)$。然后我们研究对于满足 $f(0)=f(1)=0$ 的多项式 $f$，这些局域化基态的 Hilbert 空间迹 $\mathrm{tr} f(P_B(L\Lambda))$ 在联合极限 $L\to\infty$ 与 $B\to0$ 下的标度行为。我们得到了依赖于 $LB$ 大小的主阶对数增强面积律。粗略地说，若 $1/B$ 趋于无穷快于 $L$，则对（二维）拉普拉斯算子及其费米投影 $1(H_0\le \mu)$，当 $L\to\infty$ 时我们得到已知的形式为 $L \ln(L) a(f,\mu) |\partial\Lambda|$ 的增强面积律（由 Widom--Sobolev 公式）。另一方面，若 $L$ 趋于无穷快于 $1/B$，则当 $B\to0$ 时我们得到具有 $L \ln(\mu/B) a(f,\mu) |\partial\Lambda|$ 渐近展开的面积律。两种情形下的数值系数 $a(f,\mu)$ 相同，且仅依赖于函数 $f$ 与 $\mu$。后一种情形的渐近结果基于 Leschke、Sobolev 与第二作者关于固定 $B$ 的近期联合工作、全局尺度上 sine-核渐近性的证明，以及 Landau 与 Widom 在一维下的增强面积律。在二次函 $f$ 这一特殊但重要的情形中，我们能够处理参数 $B$ 与 $L$ 的整个范围。一般而言，我们可证明双尺度渐近展开 $\mathrm{tr} f(P_B(L\Lambda))$ 的参数区域 $(B,L)$ 较小，其中 $L\to\infty$ 且 $B\to0$。