薄膜方程的局部化、光滑性与收敛到平衡态

我们研究了薄膜型方程$$v_t =(xv - vv_{xxx})_x\ ,$$（该方程出现在Hele-Shaw问题中）弱解的长时间行为。我们估计了解收敛到Smyth-Hill平衡解（形式为$\frac{1}{24}(C^2-x^2)^2_+$）的速率，使用的范数为$$|\!|\!| f |\!|\!|_{m,1}^2 = \int_{\R}(1+ |x|^{2m})|f(x)|^2\dd x + \int_{\R}|f_x(x)|^2\dd x\ .$$我们得到了对所有满足$1\leq m< 2$的$m$在$|\!|\!| \cdot |\!|\!|_{m,1}$范数下的指数收敛，从而获得了同时度量光滑性和局部化的范数下的收敛速率。局部化是主要的新颖之处，事实上，我们证明了局部化界与光滑性界之间存在密切联系：二阶矩的收敛意味着$H^1$ Sobolev范数下的收敛。然后我们使用最优质量输运方法来获得所需矩的收敛。我们还使用这些方法构造了一类适当的弱解，使得我们的收敛分析所依赖的所有估计都可以严格推导。尽管我们的主要收敛结果可以在不提及最优质量输运的情况下陈述，但在整个分析中我们大量使用了这一理论。