Ricci-调和流的局部曲率估计

本文在沿流 Ricci 曲率有界的条件下，给出了 $\Delta_{g(t)}u(t)$ 的显式界以及 Ricci-调和流的局部曲率估计。第二部分将这些局部曲率估计推广到作者引入的一类广义 Ricci 流 \cite{LY1}，其稳定点给出完备流形上的 Ricci-平坦度量，并且非常接近于 Xiangdong Li 与 Songzi Li 最近定义的 $(K, N)$-超 Ricci 流 \cite{LL2014}。接着，受第一部分结果及 Klainerman、Rodnianski 和 Szeftel 最近解决的有限 $L^{2}$-曲率猜想 \cite{KRS2015} 的启发，我们对 Einstein 标量场方程提出一个猜想。本文最后两部分分别讨论 Wylie-Yeroshkin \cite{KW2017, KWY2017, Wylie2015, WY2016} 意义下与 Li \cite{LY3} 意义下的两种“Riemann 曲率张量”概念，其“Ricci 曲率”均给出标准的 Bakey-\'Emery Ricci 曲率 \cite{BE1985}，以及 Ricci-调和流的正向与反向唯一性。