完全图与完全二部图的笛卡尔积的列表染色

我们研究了阶为 $n$ 的完全图与部集大小为 $a$ 和 $b$ 的完全二部图的笛卡尔积的列表色数，记作 $\chi_{\ell}(K_n \square K_{a,b})$。在 2024 年稀疏图联盟关于图染色的代数、极值和结构方法及问题的研讨会上，Mudrock 提出了以下问题：对于每个正整数 $a$，是否 $\chi_{\ell}(K_n \square K_{a,b}) = n+a$ 当且仅当 $b \geq (n+a-1)!^a/(a-1)!^a$？在本文中，我们通过研究当 $H$ 是强染色-可选的（顶点临界性的一种特殊形式）时 $\chi_{\ell}(H \square K_{a,b})$ 的性质，并借助列表颜色函数和诸如 Karamata 不等式等分析不等式，证明了该问题的答案是肯定的。我们的结果可以看作是已知结果 $\chi_{\ell}(K_{a,b}) = 1+a$ 当且仅当 $b \geq a^a$ 的推广。