无界控制系统的线性算子不等式与能量消失的零能控性

我们考虑可分离Hilbert空间 $H$ 上的线性系统，该系统在某个时间 $T_0>0$ 在点控制或边界控制作用下是零能控的。应用中通常研究的抛物型和双曲型控制系统是其特例。对每个初始状态 $y_0 \in H$，我们关联在时间 $T \ge T_0$ 内将 $y_0$ 转移到 $0$ 所需的最小“能量”（控制的“能量”为其 $L^2$ 范数的平方）。我们给出了当 $T\to+\infty$ 时最小能量收敛到 $0$ 的充分必要条件。这将Priola和Zabczyk（Siam J. Control Optim. 42 (2003)）为分布系统引入的能量消失的零能控性概念推广到了边界控制系统。Priola-Zabczyk论文中的证明依赖于相关Riccati方程的性质，而这些性质在当前的通用设定下并不具备。在此，我们的结果基于带稳定性的二次调节器问题的新性质以及线性算子不等式。