关于保持平行对的$\mathcal{L}(\ell_p^n,\ell_p^m)$上的线性映射

两个向量$x,y$被称为形成平行（或三角等式达成或TEA）对，如果存在某个标量$\lambda$且$|\lambda|=1$（或$\lambda=1$），使得\|x+\lambda y\|=\|x\|+\|y\。对于$p\in\{1,\infty\}$，且$m,n\geq 2$，我们研究映射$T: \mathcal{L}(\ell_p^n, \ell_p^m) \to \mathcal{L}(\ell_p^n,\ell_p^m)$，其保持平行（或TEA）对，即当$\\A,B$形成平行（或TEA）对时，$T(A),T(B)$也形成平行（或TEA）对。我们证明：若$T$为非零映射，则以下命题等价：(1) $T$保持TEA对；(2) $T$保持平行对且$\\text{rank}(T)>1$；(3) $T$保持平行对且$T$是可逆的；(4) $T$是某 isometry 的标量倍数。