Wasserstein空间上proximal下降方法的线性收敛性

我们研究了受Jordan、Kinderlehrer和Otto引入的最小化移动方案启发的proximal下降方法，用于在Wasserstein空间上优化熵正则化函数。我们在平坦凸性假设下建立了线性收敛，从而放宽了对测地线凸性的常见依赖。我们的分析规避了对离散时间演化微分不等式（EVI）的需求。相反，我们利用均匀的对数 Sobolev 不等式（LSI）和熵“三明治”引理，扩展了来自arXiv:2201.10469和arXiv:2202.01009的分析。通过LSI进行证明的主要挑战是表明相对Fisher信息$I(\cdot|\pi)$在方案的每个步骤中都有定义。由于相对熵在Wasserstein空间上不可导，我们证明在方案沿途，迭代值属于某种Sobolev正则性类别，从而保证相对熵$\operatorname{KL}(\cdot|\pi)$具有唯一的Wasserstein次梯度，并且相对Fisher信息确实是有限的。