梯度流作为最优受控演化：从 R^n 到 Wasserstein 积空间

我们表明，R^n 中的连续时间梯度下降可以被视为针对特定作用函数的最优受控演化；类似的结果也适用于随机梯度下降。随后，我们为相对熵的 Wasserstein 梯度流提供了类似的表述，其作用函数的结构与经典情况一致，其中以欧几里得梯度取代为 Wasserstein 梯度。在小步限制下，这些连续时间作用与 Jordan-Kinderlehrer Otto 方案相吻合。接下来，我们考虑相对熵在 Wasserstein 积空间上的梯度流，这一研究是受 Schrodinger 桥梁的随机控制表述所激发。我们对积空间上的最陡下降进行表述，作为具有两个控制速度和积空间 Wasserstein 梯度的变分问题的解，并表明诱导的两个分量之间的流量是相等且相反的。这一框架为对微型机器人群体的 optimal control 演化提供了应用可能性，这些机器人能够向其他群体传达其当前分布。