$G$-Bott-Samelson-Demazure-Hansen 簇上的线丛

设 $G$ 为任意特征代数闭域 $k$ 上的半单连通代数群。设 $B$ 为 $G$ 的包含 $G$ 的一个极大环面 $T$ 的 Borel 子群。设 $W$ 为 $G$ 关于 $T$ 的 Weyl 群。对于 $W$ 中简单反射的任意序列 $w=(s_{i_{1}},s_{i_{2}},\ldots, s_{i_{r}})$，设 $Z_{w}$ 为对应于 $w$ 的 Bott-Samelson-Demazure-Hansen 簇（简称 BSDH 簇）。设 $\widetilde{Z_{w}}:=G\times^{B}Z_{w}$ 表示 $G/B$ 上的纤维丛，其在 $B/B$ 处的纤维为 $Z_{w}$。在本文中，我们给出了簇 $Z_{w}$ 和 $\widetilde{Z_{w}}$ 为 Fano（弱 Fano）的充分必要条件。我们证明了 $Z_{w}$ 上的线丛为全局生成的充要条件是它为 nef 的。我们证明了 Picard 群 $\text{Pic}(\widetilde{Z_{w}})$ 是自由阿贝尔群，并构造了一个 $\mathcal{O}(1)$-基。我们用该 $\mathcal{O}(1)$-基刻画了 $\widetilde{Z_{w}}$ 上的 nef、全局生成、ample 和 very ample 线丛。