凸射影曲面与芬斯勒度量的极限

我们证明，对于 $\operatorname{SL}_3\mathbb{R}$ Hitchin 分量中某些趋于无穷远的序列，迹函数的增长率由自然的芬斯勒度量描述。更具体地，当 Labourie-Loftin 三次微分变大时，迹函数的对数被一个具有三角形单位球、并直接由该三次微分定义的芬斯勒度量中的长度所逼近。这等价于 Loftin 于 2006 年提出、最近由 Loftin、Tamburelli 和 Wolf 证明的一个猜想，尽管用芬斯勒度量表述该结果是新的，并带来了更强的结果与更简单的证明。从我们的视角看，该结果是可能具有其他应用的更局部定理的推论。证明的关键要素是 Danciger 和 Stecker 最近定义的、定义于任意凸射影曲面上的另一种非对称芬斯勒度量，其中闭 loop 的长度为特征值之对数。我们模仿 Nie 的工作表明，当三次微分变大时，Danciger 和 Stecker 的度量收敛到我们具有三角形单位球的芬斯勒度量。虽然 Loftin、Tamburelli 和 Wolf 处理的是三次微分射线，我们的方法也处理渐近于三次微分射线的表示序列，从而让我们对凸射影曲面模空间的自然紧化有更多认识。