Lipschitz 联络与喷量的凸邻域

我们证明了在 $C^{2,1}$ 流形上，任何 Lipschitz 联络或喷量的指数映射都确定了一个局部双 Lipschitz 同胚，并且进一步存在可逆的凸正规邻域。为此，我们利用 Picard-Lindelöf 逼近法证明了指数映射在原点处的强可微性，从而得到了一个不要求指数映射可微性的高斯引理版本。与朴素的微分阶数计数相反，距离函数被证明提升了一阶可微性，从而是 $C^{1,1}$ 的。作为在数学相对论中的应用，我们认为上述可微性条件可被视为保持因果理论大多数结果的最优条件。该理论也被证明可推广至 Finsler 时空情形。特别地，我们证明了在绝对连续因果曲线类中，因果测地线的局部 Lorentzian(-Finsler) 长度最大化性质对于 $C^{1,1}$ 时空度规已经成立。最后，我们研究了凸函数的局部存在性，并证明了任意小的全局双曲凸正规邻域确实存在。