p 进随机矩阵乘积的极限与涨落

我们证明了在 $\mathbb{Q}_p$ 上的随机矩阵的乘积与角的奇异数（亦称不变因子或 Smith 标准形）由 Hall–Littlewood 多项式所支配，其结构方式与复随机矩阵奇异值与 Heckman–Opdam 超几何函数之间的经典关系完全相同。这意味着 $\text{GL}_N(\mathbb{Z}_p)$ 中 Haar 分布元素的角的乘积的奇异数构成一个离散时间 Markov 链，其分布为 Hall–Littlewood 过程，乘积中矩阵的个数起到时间的作用。我们通过将 Hall–Littlewood 过程与类似于 PushTASEP 的相互作用粒子系统相联系，给出了此类过程的精确采样算法。通过分析该粒子系统的渐近行为，我们证明了此类乘积的奇异数服从大数定律，且其涨落动态收敛于独立的 Brownian 运动。在矩阵维数趋于很大的极限下，我们还证明了矩阵乘积的 Lyapunov 指数类似量在这一 $\text{GL}_N(\mathbb{Z}_p)$ 角类中有普适极限。