极限高度与黎曼 zeta 函数的特殊值

我们研究由线性多项式 $x_{0}+x_{1}+x_{2}$ 定义的射影直线与其被挠点平移所得直线之交的高度分布。我们证明，对于严格的挠点序列，相应高度收敛于一个实数，该实数为黎曼 zeta 函数特殊值之商的有理倍数。我们还确定了这些高度的范围，刻画了极值情形，并研究了在真代数子群中严格的挠点序列之高度极限。此外，我们从阿拉克洛夫几何的角度解释主要结果，表明对于严格的挠点序列，相应高度的极限与由同一线性多项式定义的整数上射影平面之圈的阿拉克洛夫高度一致。这是算术 Bézout 定理之渐近猜想版本的一个特例。利用环簇阿拉克洛夫几何中算术对象与凸对象间的相互作用，我们证明该阿拉克洛夫高度可表示为射影直线 amoeba 上分段线性函数的均值，而该均值又可计算为前述实数。