特征二下 Brauer 特征的提升

Cossey 于 2007 年提出的一个猜想断言：若 $G$ 是有限 $p$-可解群，且 $\varphi$ 是 $G$ 的具有顶点 $Q$ 的不可约 $p$-Brauer 特征标，则 $\varphi$ 的提升个数至多为 $|Q:Q'|$。该猜想在 $p$ 为奇数时的若干情形中已知成立，但在 $p$ 为偶数时进展甚微。特征二中的主要障碍在于提升的所有顶点对既非线性也不共轭。本文我们证明，若 $\chi$ 是可解群中某个不可约 $2$-Brauer 特征标的提升，则 $\chi$ 具有线性 Navarro 顶点当且仅当 $\chi$ 的所有顶点对均为线性，且在此情形下 $\chi$ 的所有扭曲顶点均共轭。我们的结果亦可用于研究特征二中 Brauer 特征标的其他提升问题。作为一个应用，我们证明了 Cossey 猜想在 $p=2$ 时的较弱形式“一次一个顶点”。