广义 Kompaneets 方程的李群分类与不变精确解

本文从群论观点研究了如下一类广义 Kompaneets 方程(GKEs)：$$u_t=\frac1{x^2}\cdot\left[x^4(u_x+f(u))\right]_x, \ (t,x) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{+},$$ 其中 $u=u(t,x)$，$u_t=\frac{\partial u}{\partial t}$，$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$，$u_{xx}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$；$f(u)$ 是关于变量 $u$ 的任意光滑函数。使用 Lie--Ovsiannikov 算法，对所研究的类进行了群分类。结果表明，GKEs 全群的核代数是一维李代数 $\mathfrak{g}^\cap=\langle \partial_t \rangle$。使用直接方法，求出了该类的等价群 $G^\sim$。得到了六个（在 $G^\sim$ 的等价变换意义下）不等价的 GKEs，它们允许比 $\mathfrak{g}^\cap$ 更宽的不变代数。结果表明，在该类非线性方程中，具有函数 $f(u)=u^{\frac43}$ 的 GKE 具有最大对称性，即它允许一个三维极大李不变代数。利用所得到的算子，求出了所考虑 GKE 的所有可能的不等价群不变精确解。